前言

文章中所有排序算法默认非递减。

1. 直接插入排序

• 算法介绍

  直接插入排序，属于插入类排序，该算法稳定，顾名思义，每次都会将一个待排元素直接插入到有序序列中，打个比方，有一个序列是

  2, 5, 4, 6, 3
  

  • 第一次排序：只有 2 一个元素，所以无需排序。排序结果为 2。
  • 第二次排序：待排元素为 5，5 比 2 大，所以不需要移动元素。排序结果为 2, 5。
  • 第三次排序：待排元素为 4，4 比 5 小，所以 5 向后移动一位；而 4 比 2 大，所以 4 应该插入 2 的后面，5 的前面。排序结果为 2, 4, 5。
  • 第四次排序：待排元素为 6，6 比 5 大，所以直接插入到 5 的后面即可。排序结果为 2, 4, 5, 6。
  • 第五次排序：待排元素为 3，3 比 6 小，6 向后移动一位；继续和 5 , 4 依次比较，由于 3 比 5 和 4 都要小，5 , 4 也依次向后移动一位；直到 3 比 2 大，所以 3 插入到 2 的后面，4 的前面。排序结果为 2 , 3 , 4 , 5 , 6。

• 具体代码

  def insert_sort_directly(arr):
      """
      直接插入排序
      :param arr: 列表
      :return: arr
      """
      n = len(arr)
      for i in range(1, n):  # 从第二个元素开始遍历
          temp = arr[i]  # 保存待插入元素
          j = i - 1  # 右边扫描开始下标
          while j >= 0 and temp < arr[j]:  # 从右向左扫描,直到找到比 temp 小的元素，将比 temp 大的元素依次右移一位
              arr[j + 1] = arr[j]
              j -= 1
          arr[j + 1] = temp  # 找到插入位置，将 temp 插入
      return arr
  

2. 希尔排序

• 算法介绍

  希尔排序属于插入类排序，且该排序不稳定，又称作缩小增量排序，是直接插入排序的优化版。

  希尔排序是对下标按照一定增量进行分组，对每组数据进行直接插入排序；随着增量减少，每组关键字越来越多，直到增量为 1，整个数据恰好被分成一组，排序结束。

  例如，初始序列为：

  2, 5, 4, 6, 3
  

  取初始增量 5 / 2 = 2，其中 5 为序列的总个数，由于增量只能为整数，所以需要取整。

  那么，2, 4, 3 一组，5, 6 为一组。

  2 的下标为 0，4 的下标为 2，3 的下标为 4，以增量 2 为间隔依次取组。

  对 2, 4, 3 进行直接插入排序，排序结果为 2, 3, 4；对 5, 6 进行直接插入排序，排序结果为 5, 6。

  得到总序列排序结果 2, 5, 3, 6, 4。

  开始缩小增量，增量为原来增量 / 2，即 2 / 2 = 1。再继续对待排序列进行分组，由于增量为 1，只有一组数据：2, 5, 3, 6, 4，对该数据执行直接插入排序，得到最终排序结果：

  2, 3, 4, 5, 6
  

• 具体代码

  def shell_sort(arr):
      """
      希尔排序
      :param arr: 列表
      """
      n = len(arr)  # 列表长度
      step = n // 2  # 步长，初始值为列表长度除 2 取整
      while step > 0:
          for j in range(step, n):  # 从下标 step 遍历到 n - 1
              while j - step >= 0 and arr[j] < arr[j - step]:  # 比较下标相差 step 的两个元素，若 j- step 比 j 对应元素大，将两者交换
                  arr[j], arr[j - step] = arr[j - step], arr[j]
                  j -= step
          step = step // 2  # 步长减半
  

3. 冒泡排序

• 算法介绍

  冒泡排序又称起泡排序，属于交换类排序，该算法稳定。

  冒泡排序从第一个元素开始，比较当前元素和下一个元素，若当前元素大于下一个元素，将两者交换，依次对所有元素进行比较，那么经过一次冒泡排序，最大的数像石头一样沉入底部，小的数像气泡一样冒出。

  例如，有一个待排序列：

  2, 4, 5, 3, 6
  

  • 比较 2 和 4 ，2 小于 4，无需交换。

  • 比较 4 和 5，无需交换。

  • 比较 5 和 3 ，由于 5 比 3 大，将两者交换，得到序列：

    2, 4, 3, 5, 6
    

  • 比较 5 和 6，无需交换。

    2, 4, 3, 5, 6
    

    可以看到，经过一次冒泡排序，最大元素 6 被交换到了最右端。接下来，只需要对剩下的 n - 1 个元素 2, 4, 5, 3 进行冒泡排序即可，依次类推，直到没有发生元素交换，排序结束。

• 具体代码

  def bubble_sort(arr):
      """
      冒泡排序（起泡排序）
      :param arr: 列表
      :return: arr
      """
      n = len(arr)
      for i in range(n - 1, 0, -1):  # 反向遍历下标从 n - 1 到 1 的元素
          flag = 0  # 标记是否发生元素交换
          for j in range(0, i):  # 遍历下标 0 ～ i - 1 的元素
              if arr[j] > arr[j + 1]:  # 若当前元素大于下一个元素，将两者交换
                  arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
                  flag = 1  # 标记已发生交换
          if flag == 0:  # 未发生交换，结束排序
              return arr
  

4. 快速排序

• 算法介绍

  快速排序是一种交换类排序，且该算法不稳定。

  基本思想：选定一个基准元素，根据基准将待排序列划分为两部分，左边部分元素小于基准，右边部分元素大于基准。接下来对左边和右边部分继续进行快排，直到整个序列有序为止，整个排序过程是递归进行的。

  话不多说，直接上大佬画的图。

  

• 具体代码

  def quick_sort(arr, left, right):
      """
      快速排序
      :param arr: 列表
      :param left: 开始下标
      :param right: 结束下标
      """
      i, j = left, right  # i 为左指针，j 为右指针
      if left < right:  # 递归出口条件
          base = arr[left]  # base 记录基准值
          while i < j:  # 对子列进行快排，当两个指针相遇时，结束循环
              while i < j and arr[j] >= base:  # 从右往左扫描，直到找到比 base 小的值
                  j -= 1
              if i < j:  # 右指针在左指针右边，才能进行赋值操作（因为可能会出现未找到比基准元素小的情况，而此时 j <= i）
                  arr[i] = arr[j]  # 把右指针对应的值赋给左指针
              while i < j and arr[i] <= base:  # 从左向右扫描，直到找到比 base 大的值
                  i += 1
              if i < j:
                  arr[j] = arr[i]  # 把左指针对应的值赋给右指针
          arr[i] = base  # 基准值插入到最终位置（此时左右指针相遇）
          quick_sort(arr, left, i - 1)  # 对左子列（基准值左边部分）进行快排
          quick_sort(arr, i + 1, right)  # 对右子列（基准值右边部分）进行快排
  

5. 堆排序

• 基本概念

  完全二叉树：一颗二叉树有 k 层，除第 k 层之外，其他层结点都达到最大数，且第 k 层所有节点都连续集中在最左边。

  堆是一颗完全二叉树，且每个结点值都大于等于左右孩子结点值（大顶堆）或每个结点的值都小于等于左右孩子结点值（小顶堆）。如下所示：

• 算法介绍

  堆排序是基于堆设计的一种选择排序算法，且算法不稳定。

  本文中，堆排序的数组下标从 0 开始计数。对于大顶堆来说，满足数组下标定义：

  arr[i] >= arr[2 * i + 1] and arr[i] >= arr[2 * i + 2]
  

  例如有一个待排序列：

  4, 6, 8, 5, 9
  

  先将其转换为完全二叉树：

  

  再将其调整为大顶堆，从右往左，从上往下依次检查所有的非叶子节点，进行调整。

  第一次调整，从 6 开始调整：

  由于 6 小于右孩子 9，将其与右孩子交换：

  

  然后调整 4，由于 4 比左孩子 9 和右孩子 8 都要小，于是将 4 和左孩子交换（如果 4 和右孩子交换，仍然不满足大顶堆的定义，还需进行调整），得到如下结果：

  

  再对 4 进行调整，4 小于左孩子 5 和右孩子 6，因此将 4 与右孩子交换，得到如下结果：

  

  经过若干次调整，该完全二叉树已经满足大顶堆定义，接下来只需交换根结点 9 与底层最右边结点 4 的值即可。得到第一次堆排序结果：

  

  经过第一次堆排序（调整大顶堆 + 交换），最大值 9 已经加入到有序序列中，接下来只要对剩下的二叉树继续进行堆排序（调整大顶堆 + 交换）即可，直到所有序列均有序。

  总结一下堆排序的核心算法流程：

  1. 将待排序列调整为大顶堆。
  2. 交换根结点元素（最大值）和末尾元素（二叉树底层最右边元素），有序序列增加一个，无序序列减少一个，继续对剩下的无序序列进行堆排序（调整大顶堆 + 交换根结点与末尾元素），以此类推，直到只剩下一个元素为止。

• 具体代码

  注意：这里的二叉树用数组保存，且下标从 0 开始计算。

  def adjust(arr, parent, n):
      """
      调整二叉树
      :param arr: 列表
      :param parent: 父节点下标
      :param n: 列表长度
      """
      temp = arr[parent]  # 保存父结点的值
      child = 2 * parent + 1  # child 指向左孩子
      while child < n:
          if child + 1 < n and arr[child] < arr[child + 1]:  # 若右孩子存在且大于左孩子，将 child 指向右孩子
              child += 1
          if temp > arr[child]:  # 父结点已大于左右孩子，结束循环
              break
          arr[parent] = arr[child]  # 把孩子结点的值赋给父结点
          parent = child  # 选取孩子结点的左孩子，继续进行调整
          child = 2 * parent + 1
      arr[parent] = temp
  
  
  def heap_sort(arr):
      """
      堆排序
      :param arr: 列表
      """
      length = len(arr)
      # 循环建立初始大顶堆
      for i in range((length - 1) // 2, -1, -1):
          adjust(arr, i, length)
      #  n - 1 次循环，完成堆排序
      for j in range(length - 1, 0, -1):
          arr[0], arr[j] = arr[j], arr[0]  # 交换第一个元素和最后一个元素
          adjust(arr, 0, j)  # 对剩余的 j - 1 个元素进行调整
  

6. 简单选择排序

• 算法介绍

  简单选择排序属于选择类排序，且算法不稳定。

  • 基本思想：每次从待排序列中找出最小元素，将其放在有序序列末尾，直到待排序列有序。

  • 具体流程：

    例如有一个待排序列：

    2, 5, 4, 6, 3
    

    • 第一趟排序：2 为序列 2, 5, 4, 6, 3 中最小值，无需变动：

      2, 5, 4, 6, 3
      

    • 第二趟排序：剩余序列 5, 4, 6, 3 中最小值为 3，交换 5 和 3 ，得到序列：

      2, 3, 4, 6, 5
      

    • 第三趟排序：剩余序列 4, 6, 5 中最小值为 4，无需变动：

      2, 3, 4, 6, 5
      

    • 第四趟排序：剩余序列 6, 5 中最小值为 5，交换 6 和 5，得到序列：

      2, 3, 4, 5, 6
      

• 具体代码

  def simple_sort(arr):
      """
      简单选择排序
      :param arr: 列表
      """
      n = len(arr)
      for i in range(n - 1):  # 经过 n - 1 次遍历后，已经全部有序
          index = i  # 保存最小值下标
          for j in range(i + 1, n):
              if arr[j] < arr[index]:  # 若找到比当前最小值 arr[index] 还要小的元素，更新最小值下标
                  index = j
          arr[i], arr[index] = arr[index], arr[i]  # 将最小值和待排序列第一个元素交换
  

7. 归并排序

• 算法介绍

  归并排序是一种稳定的排序算法，核心思想是归并，采用分治策略来解决问题。

  话不多说，直接上图（从大佬那边偷来的？ ）。
  

• 具体代码

  def merge(left_arr, right_arr):
      """
      合并两个列表（非递减）
      :param left_arr: 左列表
      :param right_arr:右列表
      :return: 合并后的列表
      """
      result = []
      i, j = 0, 0
      while i < len(left_arr) and j < len(right_arr):  # 双指针遍历两个列表，将两个列表合并
          if left_arr[i] < right_arr[j]:  # 若 i 指向元素小于 j 指向元素，将 left_arr[i] 插入 result 中
              result.append(left_arr[i])
              i += 1  # i 向右移动一位
          else:
              result.append(right_arr[j])
              j += 1
      while i < len(left_arr):  # 将剩余元素依次写入 result 中
          result.append(left_arr[i])
          i += 1
      while j < len(right_arr):
          result.append(right_arr[j])
          j += 1
      return result
  
  def merge_sort(arr):
      """
      归并排序
      :param arr: 列表
      :return:列表
      """
      n = len(arr)
      if n <= 1:  # 若长度小于等于 1，结束排序（递归出口）
          return arr
      mid = n // 2
      left_arr = merge_sort(arr[:mid])  # 对左列表进行归并排序
      right_arr = merge_sort(arr[mid:])  # 对右列表进行归并排序
      return merge(left_arr, right_arr)  # 合并左右两个列表
  

8. 基数排序

• 算法介绍

  基数排序和其他排序不同，无需比较关键字的大小，而是从低到高根据位数进行划分和排序，且该算法稳定。

  阿拉伯数字的每一位都由 0 ~ 9 组成，例如 50，它的个位数是 0，十位数是 5。

  例如，有一个待排序列：

  73  22  93  43  55  14  28  65  39  81
  

  先根据个位数将这些数划分，如下所示：

  81 的个位数是 1，因此将其放到 1 对应的那一栏中。

  0
  1	81
  2	22
  3	73	93	43
  4	14
  5	55	65
  6
  7
  8	28
  9	39

  然后，根据上述表格中个位数 0 ~ 9 的顺序，得到如下排序结果：

  81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39
  

  经过一次排序，待排元素的个位数已经有序。接下来，依次对百位数、千位数、... 进行排序，最终得到有序序列。

• 具体代码

  def radix_sort(arr):
      """
      基数排序
      :param arr: 列表
      """
      curr_digit = 0  # 记录当前位数是第几位，0 表示个位，1表示十位，依次类推
      max_val = max(arr)  # 获取列表中的最大值
      max_digit = len(str(max_val))  # 记录最大值的位数总数
      while curr_digit < max_digit:  # 注意循环条件：最大位数是 max_digit - 1
          bucket_list = [[] for _ in range(10)]  # 建立二维空数组，用于保存数据
          for i in arr:
              digit = (i // (10 ** curr_digit)) % 10  # 计算当前位数上的数字
              bucket_list[digit].append(i)  # 将当前元素写入二维数组中
          del arr[:]  # 清空列表
          for j in bucket_list:  # 将排序好的元素写入原列表 arr
              for k in j:
                  arr.append(k)
          curr_digit += 1  # 位数 + 1
  

常见算法时间复杂度，空间复杂度和稳定性